Question

(本小题满分12分)
已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设,为数列的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）。

解析试题分析：（1）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列， 则有,即矛盾．
所以｛｝不是等比数列．
(2)解：因为
又，所以
当，，此时
当时，， ，
此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．
∴
(3)要使对任意正整数成立，
即
得（1）  
令，则当为正奇数时，
∴的最大值为, 的最小值为,
于是，由（1）式得
当时，由，不存在实数满足题目要求
当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是。
考点：本题考查等比数列的简单性质。
点评：本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，再由和的存在范围确定使得不等式成立的参数的取值范围，难度较大，综合性很强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题．