Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递减.，

当时， 在单调递减，在单调递增.

（2）证明见解析.

【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

详解：（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii）若，令得，或.

当时，；

当时，.所以在单调递减，在单调递增.

（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

，

所以等价于.

设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，即.