已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称.
⑴求圆C的方程;
⑵设Q为圆C上的一个动点,求的最小值;
⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
(1);(2)-4;(3)OP∥AB;理由祥见解析.
解析试题分析:(1)由于两圆关于某直线对称,则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等;所以可先由圆C与圆M:(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称,求出圆C的圆心C的坐标(x0,y0),进而写出圆C的方程,再由圆C过点P(1,1)就可求出半径r的值,从而得圆C的方程;其中求圆心C的坐标(x0,y0)这样进行:因为圆M的圆心M(-2,-2),所以有MC的中点在直线x+y+2=0上,且MC与直线x+y+2=0垂直,可列出关于x0,y0的方程组,解此方程组就可求得x0,y0的值;(2)设出点Q的坐标,则可用点Q的坐标表示出来,再由点Q在圆C上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;(3)由于直线PA和直线PB的倾斜角互补且PA与PB是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA的斜率为k,则PB的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程,与圆C的方程结合起来就可用k的式子表示出A,B两点的从标,从而就可求出直线AB的斜率,又OP的斜率可求,从而就可判断直线OP和AB是否平行了.
试题解析:(1)设圆C的圆心C的坐标为(x0,y0),由于圆M的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C的方程为:,又因为圆C过点P(1,1),所以有,故知:⊙C的方程为:
(2)设Q(x、y),则,从而可设
则
所以的最小值为-4.
(3)设PA的方程为:,则PB的方程为:
由得,同理可得:
OP∥AB.
考点:1.圆的方程;2.向量的数量积;3.直线和圆的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线相切
(1)求直线被圆C所截得的弦AB的长.
(2)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N求直线MN的方程
(3)若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围.
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已知圆和圆.
(1)判断圆和圆的位置关系;
(2)过圆的圆心作圆的切线,求切线的方程;
(3)过圆的圆心作动直线交圆于A,B两点.试问:在以AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆,使得圆经过点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
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已知圆心为的圆经过点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线过点且被圆截得的线段长为,求直线的方程;
(3)是否存在斜率是1的直线,使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆经过
原点?若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆G:+y2=1.过轴上的动点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G上的点到直线的最大距离;
(2)①当实数时,求A,B两点坐标;
②将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
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已知圆:,点,直线.
(1)求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
(2)在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上的任一点,都有为一常数,试求出所有满足条件的点的坐标.
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