Question

【题目】定义在实数集上的函数f（x）=x2+ax（a为常数），g（x）= x3﹣bx+m（b为常数），若函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，x= 是g（x）的一个极值点
（1）求a，b的值；
（2）若存在x∈[﹣4，4]使得f（x）≥g（x）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2+ax，f′（x）=2x+a，

若函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，

则f′（1）=2+a=3，解得：a=1，

g（x）= x3﹣bx+m，g′（x）=x2﹣b，

若x= 是g（x）的一个极值点，

则g′（ ）=2﹣b=0，解得：b=2

（2）解：由（1）得：f（x）=x2+x，g（x）= x3﹣2x+m，

令h（x）=g（x）﹣f（x）= x3﹣2x+m﹣x2﹣x= x3﹣3x+m﹣x2

∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，

当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，

当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，

当3＜x＜4时，h′（x）＞0，

要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，

由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，

而h（﹣1）=m+ ，h（4）=m﹣ ，

∵m+ ＞m﹣ ，

∴m+ ≤0，

即m≤﹣

【解析】（1）分别求出f（x），g（x）的导数，根据f′（1）=0，g′（ ）=0，分别求出a，b的值即可；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．