Question

【题目】已知函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，g（x）= 为奇函数．
（Ⅰ）求m﹣n的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与 的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），则log3（9﹣x+1）﹣mx=log3（9x+1）+mx，
即2mx=log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）
又右边=log3 ﹣log3（9x+1）=log39﹣x=log33﹣2x=﹣2x，
∴2mx=﹣2x，解得m=﹣1，
∵g（x）= 为奇函数．
∴g（0）=0，则g（0）= =0，解得n=﹣1，
∴m﹣n=0，即m﹣n的值0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log3（9x+1）﹣x，g（x）= ，
则 =log3（ + ﹣4）+log3a
=log3（3x﹣4）+log3a=log3（3x﹣4）a，
∴y=log3（3x﹣4）a，且（a＞0，3x＞4）
即f（x）=log3（9x+1）﹣x与y=log3（3x﹣4）a的图象有且只有一个交点，
∴log3（9x+1）﹣x=log3（3x﹣4）a有且仅有一个解，
∵log3（9x+1）﹣x=log3（9x+1）﹣log33x= ，
∴3x+ =（3x﹣4）a有且仅有一解，
设t=3x ， t＞4，代入上式得， ，
则a= = ，令y= ，
则y′=
= ，
∵函数y=﹣2t2﹣t+2在（4，+∞）上递减，且y＜0，
∴y′＜0，则函数y= 在（4，+∞）上递减，
∴函数y= 在（4，+∞）上的值域是（0，+∞），
故实数a的取值范围是a＞0
【解析】（Ⅰ）根据题意和函数奇偶性的性质分别列出方程，求出m和n的值，即可求出m﹣n的值；（Ⅱ）由（I）和对数的运算性质化简条件中的函数y，由对数函数的性质求出变量的范围，利用换元法构造函数，由导数与函数的单调性关系，判断出函数的单调性，并求出函数的值域，从而求出实数a的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．