【题目】已知函数f(x)=log3(9x+1)+mx为偶函数,g(x)= 为奇函数.
(Ⅰ)求m﹣n的值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)与 的图象有且只有一个交点,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=log3(9x+1)+mx为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),则log3(9﹣x+1)﹣mx=log3(9x+1)+mx,
即2mx=log3(9﹣x+1)﹣log3(9x+1)
又右边=log3 ﹣log3(9x+1)=log39﹣x=log33﹣2x=﹣2x,
∴2mx=﹣2x,解得m=﹣1,
∵g(x)= 为奇函数.
∴g(0)=0,则g(0)= =0,解得n=﹣1,
∴m﹣n=0,即m﹣n的值0;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=log3(9x+1)﹣x,g(x)= ,
则 =log3(
+
﹣4)+log3a
=log3(3x﹣4)+log3a=log3(3x﹣4)a,
∴y=log3(3x﹣4)a,且(a>0,3x>4)
即f(x)=log3(9x+1)﹣x与y=log3(3x﹣4)a的图象有且只有一个交点,
∴log3(9x+1)﹣x=log3(3x﹣4)a有且仅有一个解,
∵log3(9x+1)﹣x=log3(9x+1)﹣log33x= ,
∴3x+ =(3x﹣4)a有且仅有一解,
设t=3x , t>4,代入上式得, ,
则a= =
,令y=
,
则y′=
= ,
∵函数y=﹣2t2﹣t+2在(4,+∞)上递减,且y<0,
∴y′<0,则函数y= 在(4,+∞)上递减,
∴函数y= 在(4,+∞)上的值域是(0,+∞),
故实数a的取值范围是a>0
【解析】(Ⅰ)根据题意和函数奇偶性的性质分别列出方程,求出m和n的值,即可求出m﹣n的值;(Ⅱ)由(I)和对数的运算性质化简条件中的函数y,由对数函数的性质求出变量的范围,利用换元法构造函数,由导数与函数的单调性关系,判断出函数的单调性,并求出函数的值域,从而求出实数a的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质,掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇即可以解答此题.
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【题目】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
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【题目】一个口袋中装有个红球
且
和
个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.
(1)用表示一次摸奖中奖的概率
;
(2)若,设三次摸奖(每次摸奖后球放回)恰好有
次中奖,求
的数学期望
;
(3)设三次摸奖(每次摸奖后球放回)恰好有一次中奖的概率,当
取何值时,
最大?
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【题目】为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表:
场数 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
人数 | 10 | 18 | 22 | 25 | 20 | 5 |
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关?
非歌迷 | 歌迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)将收看该节目所有场次(14场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有2名女性,若从“超级歌迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
附:K2=.
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【题目】(本小题满分14分)
设函数,其中
.
( I )若函数图象恒过定点P,且点P在
的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当时,设
,讨论
的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线
上是否存在两点P、Q,
使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
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【题目】定义在实数集上的函数f(x)=x2+ax(a为常数),g(x)= x3﹣bx+m(b为常数),若函数f(x)在x=1处的切线斜率为3,x=
是g(x)的一个极值点
(1)求a,b的值;
(2)若存在x∈[﹣4,4]使得f(x)≥g(x)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数,
,在
处的切线方程为
.
(1)求,
;
(2)若,证明:
.
【答案】(1),
;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于 的方程组,解出即可;
(2)由(1)可知,
,
由,可得
,令
, 利用导数研究其单调性可得
,
从而证明.
试题解析:((1)由题意,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,故
,
.
(2)由(1)可知,
,
由,可得
,
令,
,
令
当时,
,
单调递减,且
;
当时,
,
单调递增;且
,
所以在
上当单调递减,在
上单调递增,且
,
故,
故.
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求面积
的最大值.
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