Question

【题目】已知a，b，c均为正数．
（Ⅰ）求证：a2+b2+（ ）2≥4 ；
（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证： ≥100．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵a，b均为正数，
∴a2+b2≥2ab， ≥ ，
∴a2+b2+ ≥2ab+ ，
∴a2+b2+（ ）2≥2ab+ ≥4 ，
当且仅当a=b= 时，等号成立．
（Ⅱ）∵a+4b+9c=1，
∴ =（a+4b+9c）（ ）=9+16+9+ + + ≥34+24+18+24=100，
当且仅当a=3b=9c时等号成立
【解析】利用基本不等式，即可证明结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．