【题目】已知a,b,c均为正数.
(Ⅰ)求证:a2+b2+( )2≥4
;
(Ⅱ)若a+4b+9c=1,求证: ≥100.
【答案】证明:(Ⅰ)∵a,b均为正数,
∴a2+b2≥2ab, ≥
,
∴a2+b2+ ≥2ab+
,
∴a2+b2+( )2≥2ab+
≥4
,
当且仅当a=b= 时,等号成立.
(Ⅱ)∵a+4b+9c=1,
∴ =(a+4b+9c)(
)=9+16+9+
+
+
≥34+24+18+24=100,
当且仅当a=3b=9c时等号成立
【解析】利用基本不等式,即可证明结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分别为PC,BD的中点.
求证:(1)EF∥平面PAD;
(2)PA⊥平面PDC.
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【题目】已知( +1)m=
xm+ym , 其中m,xm , ym∈N* .
(1)求证:ym为奇数;
(2)定义:[x]表示不超过实数x的最大整数.已知数列{an}的通项公式为an=[ n],求证:存在{an}的无穷子数列{bn},使得对任意的正整数n,均有bn除以4的余数为1.
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【题目】已知函数f(x)=log3(9x+1)+mx为偶函数,g(x)= 为奇函数.
(Ⅰ)求m﹣n的值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)与 的图象有且只有一个交点,求实数a的取值范围.
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【题目】对于函数f(x),若存在常数s,t,使得取定义域内的每一个x的值,都有f(x)=﹣f(2s﹣x)+t,则称f(x)为“和谐函数”,给出下列函数 ①f(x)= ②f(x)=(x﹣1)2 ③f(x)=x3+x2+1 ④f(x)=ln(
﹣3x)cosx,其中所有“和谐函数”的序号是( )
A.①③
B.②③
C.①②④
D.①③④
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且面积为S,满足S= bccosA
(1)求cosA的值;
(2)若a+c=10,C=2A,求b的值.
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【题目】十九大提出,加快水污染防治,建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量(单位:吨)的历史统计数据,得到如下频率分布表:
将污水排放量落入各组的频率作为概率,并假设每年该河流的污水排放量相互独立.
(1)求在未来3年里,至多1年污水排放量的概率;(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下:当
时,没有影响;当
时,经济损失为10万元;当
时,经济损失为60万元.为减少损失,现有三种应对方案:
方案一:防治350吨的污水排放,每年需要防治费3.8万元;
方案二:防治310吨的污水排放,每年需要防治费2万元;
方案三:不采取措施.
试比较上述三种文案,哪种方案好,并请说明理由.
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