Question

【题目】已知函数f（x）=
（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；
（2）若关于x的不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三个整数解，求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，令f′（x）＞0，得f（x）的递增区间为（0， e）；

令f′（x）＜0，得f（x）的递减区间为（ e，+∞），

∵x∈[1，m]，则当1≤m≤ e时，f（x）在[1，m]上为增函数，

f（x）的最小值为f（1）= ；

当m＞ e时，f（x）在[1， e）上为增函数，

在（ e，m]上为减函数，又f（3）= =f（1），

∴若 e＜m≤3，f（x）的最小值为f（1）= ，

若m＞3，f（x）的最小值为f（m）= ，

综上，当1≤m≤3时，f（x）的最小值为f（1）= ；

当m＞3，f（x）的最小值为f（m）=

（2）解：由（1）知，f（x）的递增区间为（0， e），递减区间为（ e，+∞），

且在（ e，+∞）上，ln x＞lne=1＞0，又x＞0，则f（x）＞0，又f（ ）=0，

∴n＜0时，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜n，

而f（x）＞0的解集为（ ，+∞），整数解有无数多个，不合题意；

n=0时，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0，得f（x）≠0，解集为（0， ）∪（ ，+∞），

整数解有无数多个，不合题意；

n＞0时，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0，得f（x）＞n或f（x）＜0，

∵f（x）＜0的解集为（0， ）无整数解，

若不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三个整数解，

∵f（x）在（0， e）递增，在（ e，+∞）递减，

而1＜ e＜2，f（1）=f（3），

所以，三个正整数为1，2，3，而f（4）= ，

综上，实数n的取值范围是[ ， ）

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）在闭区间上的最小值即可；（2）根据f（x）的单调性，通过讨论n的符号，解关于f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出n的范围即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．