Question

【题目】已知函数，函数是函数的反函数.

求函数的解析式，并写出定义域；

设，判断并证明函数在区间上的单调性:

若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为)，且.

Answer 1

【答案】（1）；；

（2）在区间上是减函数，证明见解析；

（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据和得出，此范围就是其反函数的定义域，再由，可解得，，再将互换得，从而得函数的解析式；

（2）设，则，，，可得，可得证；

（3）先判断函数的奇偶性，再由（2）得出在上的单调性，根据零点存在定理可得证.

，，，，

又，，

由，得，，互换得，

，定义域

在区间上的单调递减，证明如下：

由(1)可知，，且定义域为，

设，则，

，，

，

由得，即，

在区间上是减函数；

对任意，有，

所以，函数是奇函数，

由（2）得在区间上是减函数，所以函数在上单调递减，且在上的图像也是不间断的光滑曲线，

又

,

所以，根据零点存在定理得：函数在区间上有且仅有唯一零点，

所以，函数在区间上有且仅有唯一零点，且.

故得解.