Question

17．如图，在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PB⊥AB．
（1）证明：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若PB=AB=$\frac{4}{3}$BC=4，平面PAB⊥平面ABCD，求三棱锥A-PBD与三棱锥P-BCD的表面积之差．

Answer 1

分析 （1）由已知四边形ABCD为矩形，得AB⊥BC，然后结合已知可得AB⊥平面PBC，进一步得到CD⊥平面PBC，再由面面垂直的判定可得平面PBC⊥平面PCD；
（2）由已知分别说明三角形PAD、PBC、PCD、PAB为直角三角形并求出面积，再由△ABD与△BCD的面积相等，且三棱锥P-BCD与三棱锥A-PBD的公共面为△PBD，即可求得三棱锥A-PBD与三棱锥P-BCD的表面积之差．

解答 （1）证明：由已知四边形ABCD为矩形，得AB⊥BC，
∵PB⊥AB，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC，
又CD∥AB，∴CD⊥平面PBC，
∵CD?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD；
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，则AD⊥PA，
∴${S}_{△PAD}=\frac{1}{2}×3×4\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
又AD∥BC，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PB，
∴${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×4×3=6$．
又CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，
∴${S}_{△PCD}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=10$．
又PB⊥AB，则${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×4=8$．
而△ABD与△BCD的面积相等，且三棱锥P-BCD与三棱锥A-PBD的公共面为△PBD．
∴三棱锥A-PBD与三棱锥P-BCD的表面积之差为$（8+6\sqrt{2}）-（10+6）=6\sqrt{2}-8$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．