Question

12．已知a_n=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+3}}}＜\sqrt{{a_{n+1}}}+\sqrt{{a_{n+2}}}$；
（Ⅱ）若不等式2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2在n≥n₀时恒成立，求最小正整数n₀，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用通项公式化简不等式，利用分析法的证明方法，通过平方转化求解使不等式成立的充分条件-5＜3即可证明不等式．
（Ⅱ）通过n的取值，推出前几项，找出最小正整数n₀，然后证法一利用数学归纳法证明即可．证法二：利用二项式定理转化证明即可．

解答 满分（12分）．
证明：（Ⅰ）要证：$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+3}}}＜\sqrt{{a_n}_{+1}}+\sqrt{{a_{n+2}}}$
即证：$\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+5}＜\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}$…（1分）
只需证：${（{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+5}}）^2}＜{（{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}）^2}$…（2分）
即证：$4n+4+2\sqrt{（{2n-1}）（{2n+5}）}＜4n+4+2\sqrt{（{2n+1}）（{2n+3}）}$
只需证：4n²+8n-5＜4n²+8n+3…（3分）
只需证：-5＜3
上式显然成立∴不等式$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+3}}}＜\sqrt{{a_n}_{+1}}+\sqrt{{a_{n+2}}}$成立．…（4分）
（Ⅱ）2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2即  2ⁿ＞n²+1
当n=1时，左边=2¹=2，右边=1+1=2，不等式不成立；
当n=2时，左边=2²=4，右边=2²+1=5，不等式不成立；
当n=3时，左边=2³=8，右边=3²+1=10，不等式不成立；
当n=4时，左边=2⁴=16，右边=4²+1=17，不等式不成立；
当n=5时，左边=2⁵=32，右边=5²+1=2，不等式成立；
当n=6时，左边=2⁵=32，右边=5²+1=2，不等式成立；
故猜想最小正整数n₀=5．…（6分）
下面证明n≥5时2ⁿ＞n²+1成立：
证法一：（数学归纳法）
①当n=5时，左边=2⁵=32，右边=5²+1=26，不等式成立…（7分）
②假设当n=k（k≥5，且k∈N^*）时，不等式成立，即2^k＞k²+1，…（8分）
则当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2×（k²+1）=（k+1）²+1+k（k-2）…（10分）
当k≥5时，显然k（k-2）＞0
故2^k+1＞（k+1）²+1
即n=k+1时不等式成立…（11分）
综上，不等式2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2在n≥n₀时恒成立，且最小正整数n₀等于5．…（12分）
证法二：当n≥5时，
由${2^n}=（1+1{）^n}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n$…（8分）
得${2^n}≥C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n$=$2（{C_n^0+C_n^1+C_n^2}）$…（10分）
即2ⁿ≥n²+n+2＞n²+1…（11分）
所以，不等式2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2在n≥n₀时恒成立，且最小正整数n₀等于5．…（12分）

点评 本题考查了数学归纳法的应用，考查了分析法与综合法的推理能力，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．