Question

1．为了解葫芦岛市高三学生某次模拟考试的数学成绩的某项指标，从所有成绩在及格线以上（90及90分以上）的考生中抽取一部分考生对其成绩进行统计，将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100），第二组[100，110），…，第六组[140，150]．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组人数为4．
（1）请将频率分布直方图补充完整，并估计这组数据的平均数M；
（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，求两个人来自于同一组的概率P₁；
（3）用这部分考生的成绩分布的频率估计全市考生的成绩分布，并从全市考生中随机抽取3名考生，求成绩不低于130分的人数ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）令第四，第五组的频率分别为x，y，由等差中项得概念及频率和为1列关于x，y的方程组，求得x，y的值，可得频率分布直方图，进一步求得这组数据的平均数M的估计值；
（2）求出第四组和第六组人数，再由古典概型概率计算公式求得两个人来自于同一组的概率P₁；
（3）求出在样本中选一人成绩不低于130分的概率为$\frac{3}{20}$，写出ξ的可能取值并求其概率，列出频率分布表，再由二项分布的期望公式求期望．

解答 解：（1）令第四，第五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10且x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，
∴x=0.15，y=0.10，补充如图：
则M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5；
（2）第四组人数12，第六组人数4．
∴P₁=$\frac{{C}_{12}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；
（3）在样本中选一人成绩不低于13（0分）的概率$\frac{3}{20}$．
ξ的可能取值0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{20}$）³=$\frac{4913}{8000}$，P（ξ=1）=C₃¹（1-$\frac{3}{20}$）²$\frac{3}{20}$=$\frac{2601}{8000}$，
P（ξ=2）=C₃²（1-$\frac{3}{20}$）$\frac{3}{20}$²=$\frac{459}{8000}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{20}$³=$\frac{27}{8000}$．
分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4913}{8000}$	$\frac{2601}{8000}$	$\frac{459}{8000}$	$\frac{27}{8000}$

由ξ～B（3，$\frac{3}{20}$），故Eξ=3×$\frac{3}{20}$=$\frac{9}{20}$．

点评 本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，考查学生读取图表的能力，是中档题．