Question

3．设函数f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x_n}．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{x_n}{2π}$，设数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为s_n，求证S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得区间；导数小于0，可得减区间；可得极小值，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{x_n}{2π}$=$n-\frac{1}{3}=\frac{3n-1}{3}$，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$，运用裂项相消求和，以及不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{2}$+sinx，
令$f'（x）=\frac{1}{2}+cosx=0$，得$x=2kπ±\frac{2π}{3}$（k∈Z），
f'（x）＞0⇒$2kπ-\frac{2π}{3}＜x$$＜2kπ+\frac{2π}{3}$（k∈Z），
f'（x）＜0⇒$2kπ+\frac{2π}{3}＜x$$＜2kπ+\frac{4π}{3}$（k∈Z），
当$x=2kπ-\frac{2π}{3}$（k∈Z）时，f（x）取得极小值，
所以${x_n}=2nπ-\frac{2π}{3}$（n∈N^*）；
（2）证明：∵b_n=$\frac{x_n}{2π}$=$n-\frac{1}{3}=\frac{3n-1}{3}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$=$3（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴${s_n}=3（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}$$+…+\frac{1}{{3n-{1^{\;}}}}-\frac{1}{3n+2}）$=$3（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3n+{2^{\;}}}}）$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{3n+2}$，
∴${s_n}＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求极值，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，属于中档题．