Question

8．已知0为坐标原点，抛物线y²=8x，直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），满足$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，则△A0B的面积为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{16\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+2，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
设直线l为x=my+2，代入抛物线方程可得y²-8my-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
由$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×$2×$\sqrt{64{m}^{2}+64}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故选C

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．