Question

13．设直线l的方程为（a-1）x+3y+3-a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 将直线l的方程化为斜截式为$y=-\frac{a-1}{3}x+\frac{a-3}{3}$．
（1）对截距分类讨论即可得出．
（2）l不经过第二象限，可得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{a-1}{3}≥0\\ \frac{a-3}{3}≤0\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：将直线l的方程化为斜截式为$y=-\frac{a-1}{3}x+\frac{a-3}{3}$…（2分）
（1）①当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴当$\frac{a-3}{3}$即a=3时，满足条件，此时l方程为2x+3y=0．…（4分）
②当斜率为-1，直线在两坐标轴上的截距也相等．
∴当$-\frac{a-1}{3}=-1$即a=4时，满足条件，此时l方程为3x+3y-1=0．…（6分）
综上所述，若l在两坐标轴上的截距相等，l的方程为2x+3y=0或3x+3y-1=0．…（7分）
（2）l不经过第二象限
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{a-1}{3}≥0\\ \frac{a-3}{3}≤0\end{array}\right.$，…（10分）
解得a≤1．
∴a的取值范围为（-∞，1]．…（12分）

点评 本题考查了直线方程及其应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．