Question

3．若f（x）在[a，b]上连续，则下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）在[a，b]上可导
• B． ${∫}_{a}^{x}$f（t）dt为f（x）在[a，b]上的一个原函数：
• C． ${∫}_{x}^{b}$f（t）dt为f（x）在[a，b]上的一个原函数
• D． f（x）在[a，b]上至少有一个零点

Answer 1

分析 举反例f（x）=|x|，x∈[-3，3]可说明A错；可利用微积分基本定理证明B正确，C错；举反例f（x）=x，x∈[2，3]可说明D错．

解答 解：若f（x）=|x|，x∈[-3，3]，
故f（x）在x=0时不可导；故A不正确；
设f（x）在[a，b]上的一个原函数为F（x），
则${∫}_{a}^{x}$f（t）dt=F（x）-F（a），
与F（x）只差常数项，故B正确；
设f（x）在[a，b]上的一个原函数为F（x），
则${∫}_{x}^{b}$f（t）dt=F（b）-F（x），故C不正确；
若f（x）=x，x∈[2，3]，故没有零点，故D不正确．
故选B．

点评 本题考查了函数的连续性与可导，可求积分的关系的应用及函数是否存在零点的关系应用．