Question

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

• A． 7+$\sqrt{5}$
• B． 7+2$\sqrt{5}$
• C． 4+2$\sqrt{2}$
• D． 4+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 几何体为从正方体中切出来的三棱锥，利用正方体模型计算三棱锥的各边，再计算面积．

解答 解：由三视图可知几何体为从边长为2正方体中切出来的三棱锥A-BCD，如图所示．其中C为正方体棱的中点，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_ABD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∵AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$．
∵CD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{C}^{2}}$=3，BD=2$\sqrt{2}$，∴cos∠CBD=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2BC•BD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sin∠CBD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=3．
∴几何体的表面积S=2+2+$\sqrt{5}$+3=7+$\sqrt{5}$．
故选A．

点评 本题考查了不规则放置的几何体的三视图及面积计算，作出直观图是解题关键．