Question

13．已知函数f（x）=x-1-lnx，g（x）=e^x-e^-x-ax（e为自然对数的底数）．
（1）若g（x）为R上的增函数，求a的取值范围；
（2）f（x）的导函数为f′（x），若x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），求证：f′（x₁）+f′（x₂）＜0．

Answer 1

分析 （1）对g（x）求导，分离变量，构造新函数，由对号函数的性质得到a的范围．
（2）求函数的导函数，由函数的单调性确定x₁与x₂的范围．进一步由倒推法得到所要证明的不等式．

解答 解：（1）∵g（x）=e^x-e^-x-ax，
∴g′（x）=e^x+e^-x-a，
∵g（x）为R上的增函数，
∴g′（x）＞0恒成立，
∴a＜e^x+e^-x，
令t=e^x（t＞0），
∵y=t+$\frac{1}{t}$在（0，+∞）是对号函数，在t=1处取最小值，最小值为2，
∴y=e^x+e^-x在x=0处取得最小值，为2，
∴a≤2．
（2）∵f（x）=x-1-lnx，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，定义域为（0，+∞），
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∵x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），
∴可令x₁＜x₂
则x₁＜1＜x₂
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0
∴1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$hdygb
∵要证明f′（x₁）+f′（x₂）＜0
只需证2＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁•x₂＜1
∴$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞1
∴2＜1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∴原命题得证，即f′（x₁）+f′（x₂）＜0

点评 本题考查参数的求解和不等式的证明，根据条件构造函数，利用导函数研究函数的单调性是解决本题的关键．