Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．
（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，
∴AH⊥CD，
∠CAH=∠CAB=45°，
即∠BAH=90°，
即四边形ABCH是矩形，
则AB∥CH，AB∥CD
∵CD?面PAB，AB?面PAB，
∴CD∥面PAB，
∵CD?面PCD，面PAB∩面PCD=l，
∴根据线面平行的性质得CD∥l．
（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=$\sqrt{2}$，DH=$\sqrt{2}$，
建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，-2$\sqrt{2}$，0）
设平面BPC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，则x=0，令y=$\sqrt{2}$，则z=2，
即$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，2），
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，则y=0，令x=$\sqrt{2}$，则z=2，
$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，0，2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2×2}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}•\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}=\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
即二面角B-CE-D的余弦值是$\frac{2}{3}$．

点评 本小题主要考查线面平行的，二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．