Question

17．设函数f（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当x≥0时，f（x）≤x．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，由导函数的正负确定f（x）的单调区间．
（2）对不等式恒成立问题，将其转化为最值问题．

解答 解：（1）∵f（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$．
∴f′（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的递增区间是R．
（2）令h（x）=f（x）-x，
当x≥0时，h′（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-1≤0恒成立，
∴h（x）在x≥0时，单调递减，
h（x）_max=h（0）=0，
∴当x≥0时，h（x）≤0，
即f（x）≤x恒成立．

点评 本题考查导函数与原函数单调性，以及对不等式的处理．