Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₈=8，S₈=36，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和为（　　）

• A． $\frac{100}{101}$
• B． $\frac{99}{101}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{101}{100}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₈=8，S₈=36，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7d=8}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=36}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．