Question

7．已知在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，满足a²+b²=3c²，则$\frac{2tanAtanB}{tanC（tanA+tanB）}$=2．

Answer 1

分析 通过余弦定理以及正弦定理，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，把正弦函数余弦函数化为正切，即可得到结果．

解答 解：在△ABC中，∵a²+b²=3c²，由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²，可得：abcosC=c²，即：$\frac{abcosC}{{c}^{2}}$=1，
∴由正弦定理可得，$\frac{sinAsinBcosC}{sin（A+B）sinC}$=1，可得：$\frac{sinAsinBcosC}{（sinAcosB+cosAsinB）sinC}$=1，
∴分子，分母同时除以cosAcosBcosC，可得：$\frac{tanAtanB}{（tanA+tanB）tanC}$=1，
∴$\frac{2tanAtanB}{tanC（tanA+tanB）}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．