Question

2．用数学归纳法证明：
（1）1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）（n∈N^*）；
（2）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（3）1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：①当n=1时，去证明等式成立；②假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：（1）①当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
②假设n=k时等式成立，即1+2+3+…+k=$\frac{1}{2}$k（k+1），
当n=k+1时，1+2+3+…+k+k+1=$\frac{1}{2}$k（k+1）+（k+1）=$\frac{1}{2}$（k+1）•（k+2），等式成立，
由①②1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）对n∈N^*等式成立；
（2）：①当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
②假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
由①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²对n∈N^*等式成立．，
（3）①）当n=1时，左边=1，右边=2¹-1=1，
∴等式成立，
②假设当n=k时，等时成立，即1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1，
那么，当n=k+1时，1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k，
=2×2^k-1，
=2^k+1-1，
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由①②，可知1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，对n∈N^*等式成立．

点评 本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．