Question

14．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²，若当实数m满足|m|≤2，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b-a的最大值是2．

Answer 1

分析 利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．

解答 解：由函数 $f（x）=\frac{1}{12}{x^4}-\frac{1}{6}m{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}$得，f″（x）=x²-mx-3，
当|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．
当x＞0，$x-\frac{3}{x}＜m$，
∵m的最小值是-2．
∴$x-\frac{3}{x}＜-2$．
从而解得0＜x＜1；
当x＜0，$x-\frac{3}{x}＞m$，
∵m的最大值是2，
∴$x-\frac{3}{x}＞2$，
从而解得-1＜x＜0．
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）_max=1-（-1）=2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．