Question

5．当b≠0时，判断函数f（x）=x²+bln（x+1）在其定义域上的单调性．

Answer 1

分析 对函数f（x）求导后，由导函数的分子是开口向上的二次函数知，需要对有无根，及根的分布进行讨论．

解答 解：∵f（x）=x²+bln（x+1），
∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
∵f′（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$，
=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$，
∵定义域为（-1，+∞），
∴f′（x）的符号由分子确定，
设h（x）=2x²+2x+b，
①△≤0时，即b≥$\frac{1}{2}$时，
f（x）在（-1，+∞）上是单调递增的．
②$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{h（-1）＜0}\end{array}\right.$时，即b＜0时，
f（x）在（-1，$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$）上单调递减，在（$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）上单调递增；
③$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{h（-1）＞0}\end{array}\right.$时，即0＜b＜$\frac{1}{2}$时，
f（x）在（-1，$\frac{-1-\sqrt{1-2b}}{2}$）和（$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）上单调递增；
在（$\frac{-1-\sqrt{1-2b}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$）上单调递减；
综上所述：b≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，+∞）上是单调递增；
0＜b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-1，$\frac{-1-\sqrt{1-2b}}{2}$）和（$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）上单调递增；
在（$\frac{-1-\sqrt{1-2b}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$）上单调递减；
b＜0时，f（x）在（-1，$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$）上单调递减，在（$\frac{-1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）上单调递增；

点评 本题考查导函数根的分布问题，属于二次函数根的分布问题．