Question

13．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0且a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$，则曲线$y=\frac{f（x）}{g（x）}$在x=1处的切线方程为：xln2+2y-ln2-1=0．

Answer 1

分析 函数f（x）、g（x）满足f（x）=a^xg（x），h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x．由于f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得h′（x）＜0，于是函数h（x）在R上单调递减，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$解得a，可得y=h（x）的解析式，求出函数在x=1处的导数，由直线方程的点斜式得答案．

解答 解：∵函数f（x）、g（x）满足f（x）=a^xg（x），∴令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴函数h（x）在R上单调递减，则0＜a＜1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$，
∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
则y=h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$（\frac{1}{2}）^{x}$，
h（1）=$\frac{1}{2}$，
h′（1）=$\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}ln2$，
则曲线$y=\frac{f（x）}{g（x）}$在x=1处的切线方程为y$-\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}ln2（x-1）$，
整理得：xln2+2y-ln2-1=0．
故答案为：xln2+2y-ln2-1=0．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．