Question

9．设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（b-1）x的两个极值点，若b≥$\frac{7}{2}$，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 问题转化为x₁，x₂是方程x²-（b-1）x+1=0的根，求出x₁，x₂的大致范围，解x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$≥$\frac{5}{2}$，求出x₁的最大值即x₂的最小值，从而求出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的最大值．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（b-1）=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$，
故x₁，x₂是方程x²-（b-1）x+1=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=b-1}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
由x₁•x₂=1，x₁＜x₂得：
0＜x₁＜1，x₂＞1，
而b≥$\frac{7}{2}$，则x₁+x₂≥$\frac{5}{2}$，
∴x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$≥$\frac{5}{2}$，解得：x₁≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${{x}_{1}}^{2}$≤$\frac{1}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的极值的意义，考查韦达定理，转化思想，解不等式问题，是一道中档题．