Question

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为8+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．

解答 解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A-BCD．作出直观图如图所示：
其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×4$=4，S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×4$=4．
∵AC=4$\sqrt{2}$，AC⊥CD，∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$，
由勾股定理得AB=BD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=4$\sqrt{3}$．
∴cos∠ABD=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=-$\frac{1}{5}$，∴sin∠ABD=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{6}}{5}$=4$\sqrt{6}$．
∴几何体的表面积为8+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$．
故答案为8+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算，作出直观图是解题关键．