Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=（a+1）n²+a，某三角形三边为a₂，a₃，a₄，则该三角的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意求得数列的前两项，得到公差，结合等差数列的前n项和是常数项为0的n的一次或二次函数求得a，得到具体的首项和公差，求得a₂，a₃，a₄的值，再由海伦公式求面积．

解答 解：令n=1，得到a₁=S₁=2a+1，令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5a₁+4，
∴a₂=3a+3，故公差d=（3a+3）-（2a+1）=a+2，
又由等差数列{a_n}的前n项和为S_n=（a+1）n²+a，
得到a=0，∴等差数列的首项a₁=1，公差d=2，
∴a₂=3，a₃=5，a₃=7，
设P=$\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$，
则三角的面积为S=$\sqrt{\frac{15}{2}（\frac{15}{2}-3）（\frac{15}{2}-5）（\frac{15}{2}-7）}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用三角形三边求三角形面积的方法，是中档题．