Question

7．如图几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=$\sqrt{3}$，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BED⊥平面AEC；
（2）根据线面平行的判定定理即可证明DM∥平面EBC；
（3）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BM-C的平面角的余弦值

解答 解：（1）∵，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，
∴取BD的中点O，则AO⊥BD，OC⊥BD，
则BD⊥AC，
∵EC⊥BD，EC∩AC=C，
∴BD⊥面AEC，
∵BD?面BED，
∴平面BED⊥平面AEC
（2）若M是棱AE的中点，取AB的中点N，则MN是△ABE的中位线，
则MN∥BE，
∵∠BCD=120°，CB=CD=1，
∴∠CBO=30°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ABD+∠CBD=60°+30°=90°，
即AB⊥BC，
∵DN⊥AB，
∴DN∥BC，
∵DM∩MN=M，∴面DMN∥面EBC，
∵DM?面DMN，
∴DM∥平面EBC．
（3）由（1）知BD⊥面AEC，
∵∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$，AO=$\frac{3}{2}$，AC=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2，
则AE²+CE²=3+1=4=AC²，
则AE⊥CE，
∵OC=$\frac{1}{2}$，CE=1，
∴OE⊥AC，则OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
建立以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴的坐标系如图：
则D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），A（$\frac{3}{2}$，0，0），E（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
C（-$\frac{1}{2}$，0，0），
则$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
设平面DBM的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，则y=0，令z=$\sqrt{3}$，则x=-1，
即$\overrightarrow{m}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
设平面BMC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
则y=$\sqrt{3}$，令x=-3，则z=5$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，5$\sqrt{3}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+5\sqrt{3}×\sqrt{3}}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（-3）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{18}{2×\sqrt{87}}$=$\frac{3\sqrt{87}}{29}$，
即二面角D-BM-C的平面角的余弦值是$\frac{3\sqrt{87}}{29}$．

点评 本小题主要考查线面平行，面面垂直的判断，二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．