Question

2．已知f（x）=e^2x•cos3x．
（1）求f′（x）；
（2）若$m=\int_0^{2π}{sinxdx}$，求曲线y=f（x）在点（m，f（m））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）运用导数的积的运算法则和求导公式，计算即可得到所求；
（2）运用定积分的运算性质，可得m=0，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）f（x）=e^2x•cos3x的导数为f′（x）=2e^2xcos3x-3e^2xsin3x
=（2cos3x-3sin3x）e^2x；
（2）$m=\int_0^{2π}{sinxdx}$=-cosx|${\;}_{0}^{2π}$=-（cos2π-cos0）=0，
即有y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为2，
切点为（0，1），
则y=f（x）在点（m，f（m））处的切线方程为y=2x+1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查定积分的运算，正确求导是解题的关键，属于中档题．