Question

12．已知A，B，C，D四点任意三点不共线
（1）若|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，求$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角
（2）若$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$，且|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=10，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等腰三角形，建立平面直角坐标系，代入坐标计算各向量的坐标，模长，数量积，代入夹角公式计算夹角；
（2）由条件可知四边形ABCD是矩形，对角线为10，使用基本不等式即可求出面积的最大值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，∴△ABC是等腰三角形．
以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在直线为y轴家里平面直角坐标系

设B（-a，0），C（a，0），则A（0，$\sqrt{11}$a）．
∴$\overrightarrow{CB}$=（-2a，0），$\overrightarrow{CA}$=（-a，$\sqrt{11}a$），$\overrightarrow{AC}=（a，-\sqrt{11}a）$，∴$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$=（-3a，$\sqrt{11}a$）．
∴（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）•$\overrightarrow{AC}$=-3a²-11a²=-14a²．
|$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{9{a}^{2}+11{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{a}^{2}+11{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$a．
设$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{-14{a}^{2}}{2\sqrt{5}a•2\sqrt{3}a}$=-$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$，且|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=10，
∴四边形ABCD是对角线为10的矩形．
设AB=x，AD=y，则x²+y²=100≥2xy，∴xy≤50．当且仅当x=y=5$\sqrt{2}$时取等号．
∴四边形ABCD面积的最大值是50．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量线性运算的几何意义，属于中档题．