Question

3．如图，三棱锥P-ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，AD=$\frac{1}{2}$BC，P在平面ABC上的射影H是△ABC的重心，PH=4．
（1）求异面直线PD、BH所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过D是BC的中点且AD=$\frac{1}{2}$BC可知BA⊥AC，进而以点A为坐标原点建系，求出$\overrightarrow{PD}$与$\overrightarrow{BH}$的夹角即得结论；
（2）通过（1）可知平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），进而求出一个平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），利用二面角的余弦值与对应的法向量夹角的余弦值之间的关系，计算即得结论．

解答 解：（1）∵D是BC的中点，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BA⊥AC，
又∵AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵P在平面ABC上的射影H是△ABC的重心，PH=4，
∴以点A为坐标原点建系如图，则A（0，0，0），B（6，0，0），C（0，8，0），
D（3，4，0），H（2，$\frac{8}{3}$，0），P（2，$\frac{8}{3}$，4），
∵$\overrightarrow{PD}$=（1，$\frac{4}{3}$，-4），$\overrightarrow{BH}$=（-4，$\frac{8}{3}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{BH}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{BH}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{BH}|}$=$\frac{-4+\frac{32}{9}+0}{\sqrt{1+\frac{16}{9}+16}•\sqrt{16+\frac{64}{9}+0}}$=-$\frac{\sqrt{13}}{1{3}^{2}}$，
故异面直线PD、BH所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{1{3}^{2}}$；
（2）由（1）可知平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0+8y+0=0}\\{2x+\frac{8}{3}y+4z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，可知$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0+0+1}{\sqrt{0+0+1}•\sqrt{4+0+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
于是所求二面角P-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查二面角的平面角及求法，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．