Question

15．设f（x）=$\frac{\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+9}-\sqrt{{x}^{4}-4{x}^{2}+9}}{x}$（x＞0）
（1）将f（x）化成$\frac{1}{\sqrt{{g}^{2}（x）+a}+\sqrt{{g}^{2}（x）+b}}$（a，b是不同的整数）的形式；
（2）求f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析 （1）采取分子有理化，以及完全平方式即可求出，
（2）设h（x）=（x-$\frac{3}{x}$）²，x＞0当x=$\frac{3}{x}$时，即x=$\sqrt{3}$时，h（x）有最小值，则f（x）有最大值，代值计算即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+9}-\sqrt{{x}^{4}-4{x}^{2}+9}}{x}$=$\frac{{x}^{4}-3{x}^{2}+9-{x}^{4}+4{x}^{2}-9}{{x}^{2}•\frac{1}{x}（\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+9}+\sqrt{{x}^{4}-4{x}^{2}+9}）}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{9}{{x}^{2}}-3}+\sqrt{{x}^{2}+\frac{9}{{x}^{2}}-4}}$=$\frac{1}{\sqrt{（x-\frac{3}{x}）^{2}+3}+\sqrt{（x-\frac{3}{x}）^{2}+2}}$
（2）设h（x）=（x-$\frac{3}{x}$）²，x＞0
当x=$\frac{3}{x}$时，即x=$\sqrt{3}$时，h（x）有最小值，则f（x）有最大值，
∴f（x）_max=f（$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的化简与求值，关键是化简，属于中档题．