Question

8．如图，四边形ACDF为边长为2的正方形，四边形CBED为直角梯形，∠DCB=∠CDE=90°，M为AB的中点，CB=3，AB=$\sqrt{5}$，DE=1．
（I）证明：平面CBED⊥平面ABC
（Ⅱ）求二面角F-EB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （I）通过DC⊥AC，∠DCB=90°，AC∩BC=C，利用线面垂直的判定定理可知DC⊥平面ABC，进而利用面面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）利用勾股定理及AC=2，CB=3，AB=$\sqrt{5}$可知∠BAC=90°，进而可知AF，AC，AB两两垂直，以点A为坐标原点，以AB，AC，AF所在直线分别为x，y，z轴建系，分别求出平面BEF及平面BEM的法向量，进而计算可得结论．

解答 （I）证明：∵DC⊥AC，∠DCB=90°，AC∩BC=C，
∴DC⊥平面ABC，
又∵DC⊆平面CBED，
∴平面CBED⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：∵AC=2，CB=3，AB=$\sqrt{5}$，
∴CB²=AC²+AB²，即∠BAC=90°，
又∵DC⊥BC，DC⊥AC，
∴AF⊥AB，
∴AF，AC，AB两两垂直，
以点A为坐标原点，以AB，AC，AF所在直线分别为x，y，z轴建系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{5}$，0，0），C（0，2，0），D（0，2，2），F（0，0，2），M（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0，0），
∵DE=1，CB=3，设E（x，y，z），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$即（x，y-2，z-2）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{5}$，-2，0），
∴E（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{4}{3}$，2），
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{5}}{3}x+\frac{4}{3}y+2z=0}\\{-\sqrt{5}x+0+2z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得y=-$\frac{1}{2}$，z=1，从而$\overrightarrow{m}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{1}{2}$，1），
设平面BEM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{5}}{6}x+\frac{4}{3}y+2z=0}\\{\frac{\sqrt{5}}{2}x+0+0=0}\end{array}\right.$，
令y=3，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0-\frac{3}{2}-2}{\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{1}{4}+1}•\sqrt{0+9+4}}$=-$\frac{7\sqrt{2665}}{533}$，
故所求二面角F-EB-M的余弦值为$\frac{7\sqrt{2665}}{533}$．

点评 本题考查二面角的平面角及求法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．