Question

18．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对应的边，若acosB+bcosA=$\frac{c}{2cosC}$．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，cosB），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA），求$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差公式即可得出；
（II）利用数量积运算性质、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵acosB+bcosA=$\frac{c}{2cosC}$，
∴sinAcosB+sinBcosA=$\frac{sinC}{2cosC}$，sin（A+B）=sinC=$\frac{sinC}{2cosC}$，sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+cosBsinA=$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+cosB$sin（\frac{2π}{3}-B）$=$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²B+$\frac{1}{2}cosBsinB$
=$\sqrt{3}×\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1+cos2B}{2}$+$\frac{1}{4}$sin2B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}sin2B-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2B）$
=$\frac{1}{2}$$sin（2B-\frac{π}{3}）$．
∵B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（2B-\frac{π}{3}）$∈$（-\frac{π}{3}，π）$．
∴$sin（2B-\frac{π}{3}）$∈$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$的取值范围是$（-\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．