Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），g（x）=tx-$\frac{t-1+2e}{x}$-lnx，t∈R．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）当t=0时，求函数g（x）的单调区间和极大值；
（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得g（x₀）＞f（x₀）成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在[1，+∞）上是增函数，则其导函数在[1，+∞）上是恒大于等于0的，由此得出a的范围．
（2）当t=0时，对g（x）求导，由导函数的正负可以得到原函数的单调区间，以及极值．
（3）由不等式恒成立问题，转化为求最值问题．只需最大值大于0即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=-$\frac{1}{sinθ}$$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-\frac{1}{sinθ}}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
即x-$\frac{1}{sinθ}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴sinθ≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，
∵y=$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上的最大值为1，
∴sinθ≥1，
∵θ∈（0，π），
∴θ=$\frac{π}{2}$．
（2）∵g（x）=tx-$\frac{t-1+2e}{x}$-lnx，t∈R，定义域为（0，+∞），
当t=0时，g（x）=$\frac{1-2e}{x}$-lnx，
g′（x）=$\frac{2e-1-x}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=2e-1，
∴x∈（0，2e-1）时，g（x）单调递增，x∈（2e-1，+∞）时，g（x）单调递减．
∴g（x）的极大值为g（2e-1）=-1-ln（2e-1），
g（x）的递增区间是（0，2e-1），递减区间是（2e-1，+∞），
（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得g（x₀）＞f（x₀）成立，
令F（x）=g（x）-f（x）=）=tx-$\frac{t+2e}{x}$-2lnx
①当t≤0时，由x∈[1，e]有tx-$\frac{t}{x}$≤0，且-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
∴
∴此时不存在x∈[1，e]使得g（x₀）＞f（x₀）成立
②当t＞0时，F′（x）=t+$\frac{t+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{t{x}^{2}-2x+t+2e}{{x}^{2}}$
又∵x∈[1，e]
∴2e-2x≥0，又tx²+t＞0
∴F′（x）在[1，e]上恒成立，
故F（x）在[1，e]上单调递增
∴F（x）_max=F（e）=te-$\frac{t}{e}$-4
令te-$\frac{t}{e}$-4＞0
则t＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$
故所求t的取值范围为（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）

点评 本题考查导函数与函数性质之间的关系，由导函数可以确定原函数的单调区间，以及极值最值问题．属于较难题目．