Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0，c=$\sqrt{3}$．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数和诱导公式化简，结合正弦定理和同角的商数关系，即可求得C；
（2）由（1）可得B=π$-\frac{π}{3}$-A，化简sinA•sinB═$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，根据正弦函数的性质即可求出最值．

解答 解：（1）∵cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0，
∴cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即有sinBcosC+cosBsinC=acosC，
即sin（B+C）=acosC，
即sinA=acosC．
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{cosC}$，
∴$\sqrt{3}$cosC=sinC，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C是三角形内角，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）可得B=π$-\frac{π}{3}$-A，
∴sinA•sinB=sinA•sin（π$-\frac{π}{3}$-A），
=sinA•sin（$\frac{π}{3}$+A），
=sinA•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA），
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA+$\frac{1}{2}$sin²A，
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2A}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0＜$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
∴sinA•sinB的最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三角形的最值，三角函数的化简，二倍角公式，两角和差的正弦公式，正弦定理的应用，正弦函数的性质，考查计算能力．