Question

2．${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{（x+1）（x+2）（x+3）}$dx=$\frac{1}{2}$（5ln2-3ln3）．

Answer 1

分析 化简$\frac{1}{（x+1）（x+2）（x+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{2}{x+2}$），从而化简${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{（x+1）（x+2）（x+3）}$dx=$\frac{1}{2}$（${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+1}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+3}$dx-${∫}_{0}^{1}$$\frac{2}{x+2}$dx）=$\frac{1}{2}$（ln2-ln1+ln4-ln3-2（ln3-ln2））．

解答 解：∵$\frac{1}{（x+1）（x+2）（x+3）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$-$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{2}{x+2}$），
∴${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{（x+1）（x+2）（x+3）}$dx
=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{2}{x+2}$）dx
=$\frac{1}{2}$（${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+1}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+3}$dx-${∫}_{0}^{1}$$\frac{2}{x+2}$dx）
=$\frac{1}{2}$（ln（x+1）$|\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.$+ln（x+3）$|\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.$-2ln（x+2）$|\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.$）
=$\frac{1}{2}$（ln2-ln1+ln4-ln3-2（ln3-ln2））
=$\frac{1}{2}$（5ln2-3ln3）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（5ln2-3ln3）．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及定积分的运算．