Question

15．已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R），求函数g（x）=f′（x）-$\frac{a}{x}$的单调区间．

Answer 1

分析 由f（x）求导，确定出g（x），对g（x）求导，对a进行讨论，分情况来看单调区间．

解答 解：∵f（x）=（x+1）lnx-a（x+1），定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$-a，
∴g（x）=lnx+1-a+$\frac{1-a}{x}$，定义域为（0，+∞），
∵g′（x）=$\frac{x-（1-a）}{{x}^{2}}$，
①a≥1时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
②a＜1时，g′（x）=0得x=1-a，
∴g（x）在区间（0，1-a）上单调递减，
在区间（1-a，+∞）上单调递增，
综上所述：a≥1时，g（x）的单调增区间是（0，+∞），
a＜1时，g（x）的单调增区间是（1-a，+∞），
单调减区间是（0，1-a）．

点评 本题考查分类讨论来看单调区间，时高考题目中经常考查的点．