Question

1．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与底面ABC成30°角
（1）求证：A₁C₁∥截面AB₁C；
（2）求点A₁到截面AB₁C的距离；
（3）设点E为CC₁中点，求异面直线AE与BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AC，能证明A₁C₁∥截面AB₁C．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明点A₁到截面AB₁C的距离，
（3）求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，利用向量法能求出异面直线AE与BC₁所成角的大小．

解答 证明：（1）∵在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁∥AC，
A₁C₁?截面AB₁C，AC?截面AB₁C，
∴A₁C₁∥截面AB₁C．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与底面ABC成30°角，
∴B₁C=2，BC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴A₁（0，0，1），A（0，0，0），B₁（1，0，1），C（0，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{2}$，0），
设截面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴点A₁到截面AB₁C的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）E（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），C₁（0，$\sqrt{2}，1$），B（1，0，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），
设异面直线AE与BC₁所成角的大小为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{2+\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
∴异面直线AE与BC₁所成角的大小为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解时要认真审题，注意向量法的合理运用．