Question

11．已知a+b+c=1，且a，b，c是正数，
（1）求证：$\frac{2}{a+b}$+$\frac{2}{b+c}$+$\frac{2}{c+a}$≥9；
（2）若不等式|x-2|≤a²+b²+c²对一切满足题设条件的正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a+b+c=1，且a，b，c是正数，变形2（$\frac{2}{a+b}$+$\frac{2}{b+c}$+$\frac{2}{c+a}$）=（a+b+b+c+c+a）•（$\frac{2}{a+b}$+$\frac{2}{b+c}$+$\frac{2}{c+a}$）=6+2$（\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}）$+2$（\frac{c+a}{a+b}+\frac{a+b}{c+a}）$+2$（\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由a+b+c=1，可得（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²），化简即可得出．

解答 （1）证：∵a+b+c=1，且a，b，c是正数，
∴2（$\frac{2}{a+b}$+$\frac{2}{b+c}$+$\frac{2}{c+a}$）=（a+b+b+c+c+a）•（$\frac{2}{a+b}$+$\frac{2}{b+c}$+$\frac{2}{c+a}$）
=6+2$（\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}）$+2$（\frac{c+a}{a+b}+\frac{a+b}{c+a}）$+2$（\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}）$≥6+2×2+2×2+2×2=18，
∴$\frac{2}{a+b}$+$\frac{2}{b+c}$+$\frac{2}{c+a}$≥9．（当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号）．…（5分）
（2）解：∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$，（当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号），
由|x-2|$≤\frac{1}{3}$，可解得x的取值范围是$\{x|\frac{5}{3}≤x≤\frac{7}{3}\}$．…（10分）

点评 本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题．