Question

19．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，若对任意的m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$|的最小值为1，|$\overrightarrow{b}$-n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 不妨设$\overrightarrow{a}$=（R，0），$\overrightarrow{b}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}r，\frac{1}{2}r）$（r＞0）．对任意的m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$|的最小值为1，|$\overrightarrow{b}$-n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，可得：当$\overrightarrow{b}$⊥$（\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}）$时，|$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$|=1，当$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}）$时，|$\overrightarrow{b}$-n$\overrightarrow{a}$|=2，联立解出即可得出．

解答 解：如图所示，不妨设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（R，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}r，\frac{1}{2}r）$（r＞0）．
$\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{DB}$．
∵对任意的m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$|的最小值为1，|$\overrightarrow{b}$-n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，
∴当$\overrightarrow{b}$⊥$（\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}）$时，|$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$|=1，
当$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}）$时，|$\overrightarrow{b}$-n$\overrightarrow{a}$|=2，
可得：$\sqrt{3}R$=2mr，R²-$\sqrt{3}$mRr+m²r²=1．
$\sqrt{3}$r=2Rn，${r}^{2}-\sqrt{3}$nRr+n²R²=4．
联立解得：R=2，r=4，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2×4×cos\frac{π}{6}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．