Question

4．（I）证明：函数f（x）=$\frac{1}{x}$（1+x）ln（1+x）在区间（0，+∞）内为增函数；
（Ⅱ）设a＞0，b＞0，证明：（1+a+b）ln（1+a+b）＞（1+a）ln（1+a）+（1+b）ln（1+b）．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导的导函数即可证明．
（2）由（1）可知，构造新函数，由单调性即可证明不等式．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{x}$（1+x）ln（1+x），
∴f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$ln（1+x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x-ln（1+x），
则g′（x）=1-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{x}{1+x}$，
对任意x∈（0，+∞），g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，
g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）＞0恒成立，
即f′（x）＞0恒成立，
即f（x）在x∈（0，+∞）是单调递增的．
（2）令h（x）=（1+x）ln（1+x），
∴h′（x）=ln（1+x）+1，
当x＞0时，h′（x）＞1，
∴h（x）是单调递增的，且增长率比y=x快．
∴h（a+b）＞h（a）+h（b），
即（1+a+b）ln（1+a+b）＞（1+a）ln（1+a）+（1+b）ln（1+b），
则不等式得证．

点评 本题考查函数求导，及构造新函数的能力．