Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁a₅a₉=15，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，则S₉=27．

Answer 1

分析 等差数列{a_n}的公差为d，由a₁a₅a₉=15，可得（a₅-4d）a₅（a₅+4d）=15．由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{5}}）$+$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$+$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{9}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{5}-4d}-\frac{1}{{a}_{5}+4d}）$=$\frac{3}{5}$．
解得a₅，利用S₉=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a₅即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁a₅a₉=15，∴（a₅-4d）a₅（a₅+4d）=15．
∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{5}}）$+$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$+$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{9}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$=$\frac{3}{5}$，
化为$\frac{1}{8d}$$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{5}-4d}-\frac{1}{{a}_{5}+4d}）$=$\frac{3}{5}$．
解得a₅=3，
则S₉=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a₅=27．
故答案为：27．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．