Question

14．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{m}{x}$，若函数f（x）的极值点x₀满足x₀f（x₀）-x₀³＞m²，则实数m的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令f′（x）=0，求出x₀，将x₀=$\root{3}{m}$代入不等式，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=x-$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{3}-m}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\root{3}{m}$=x₀，
由x₀f（x₀）-x₀³＞m²，
得：$\root{3}{m}$[$\frac{{（\root{3}{m}）}^{2}}{2}$+$\frac{m}{\root{3}{m}}$]＞m²，
∴2m²-3m＜0，
解得：0＜m＜$\frac{3}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了函数的极值的意义，考查导数的应用，解不等式问题，是一道基础题．