Question

6．已知a，b为实数，若|a|≤1，则代数式a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-{b}^{2}}$）²-2ab的取值范围是$[1，11-2\sqrt{10}]$．

Answer 1

分析 由$\sqrt{1-{b}^{2}}$有意义，可设b=cosθ，θ∈[0，π]．代入可得a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-{b}^{2}}$）²-2ab=a⁴+5a²+4-2$\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}$sin（θ+φ）+1，其中φ=arctan$\frac{a}{{a}^{2}+2}$．由于a⁴+5a²+4=$（{a}^{2}+\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥4，利用二次函数、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：由$\sqrt{1-{b}^{2}}$有意义，可设b=cosθ，θ∈[0，π]．
∴a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-{b}^{2}}$）²-2ab
=a²+cos²θ-2acosθ+（a²+2-sinθ）²
=a⁴+5a²+4-2$\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}$sin（θ+φ）+1，其中φ=arctan$\frac{a}{{a}^{2}+2}$．
a⁴+5a²+4=$（{a}^{2}+\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥4，
当sin（θ+φ）=1时，上式≥$（\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}-1）^{2}$≥1．
当sin（θ+φ）=-1时，上式≤$（\sqrt{{a}^{4}+5{a}^{2}+4}-1）^{2}$≤11-2$\sqrt{10}$．
综上可得：代数式a²+b²+（a²+2-$\sqrt{1-{b}^{2}}$）²-2ab的取值范围是$[1，11-2\sqrt{10}]$．
故答案为：$[1，11-2\sqrt{10}]$．

点评 本题考查了二次函数的性质、三角函数代换方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．