Question

15．已知命题p：“?x＞-1，a≤x+$\frac{1}{x+1}$恒成立”；，命题q：“函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，根据命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围即可．

解答 解；关于命题p：“?x＞-1，a≤x+$\frac{1}{x+1}$恒成立”，
令g（x）=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1≥1，当且仅当x=0时“=”成立，
∴a≤1；
关于命题q：“函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，
即f′（x）=x²+2ax+2a与x轴有2个交点，
∴△=4a²-8a＞0，解得：a＞2或a＜0，
若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{0≤a≤2}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤1，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞2或a＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞2，
综上，a∈[0，1]∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．