Question

17．已知实数a＜0，函数$f（x）=a\sqrt{1-{x^2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$．
（1）设$t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$，求t的取值范围；
（2）将f（x）表示为t的函数h（t）；
（3）若函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，利用平方法进行求解即可．
（2）利用换元法进行表示即可．
（3）根据一元二次函数的性质讨论对称轴，结合函数单调性和对称性的进行求解即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≤1}\end{array}\right.$，即-1≤x≤1，即函数的定义域[-1，1]．平方得${t^2}=2+2\sqrt{1-{x^2}}$，
∴t²∈[2，4]，
∵t≥0，
∴$t∈[\sqrt{2}，2]$，
∴t的取值范围是$[\sqrt{2}，2]$．-----------（4分）
（2）由（1）知$\sqrt{1-{x^2}}=\frac{1}{2}{t^2}-1$，
∴$h（t）=a（\frac{1}{2}{t^2}-1）+t=\frac{1}{2}a{t^2}+t-a$，$t∈[\sqrt{2}，2]$．-----------（6分）
（3）$h（t）=a（\frac{1}{2}{t^2}-1）+t=\frac{1}{2}a{t^2}+t-a$的对称轴为$x=-\frac{1}{a}$．
①当$0＜-\frac{1}{a}≤\sqrt{2}$即$a≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，$g（a）=h（\sqrt{2}）=\sqrt{2}$；
②当$\sqrt{2}＜-\frac{1}{a}≤2$即$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$时，$g（a）=h（-\frac{1}{a}）=-a-\frac{1}{2a}$；
③当$-\frac{1}{a}＞2$即$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，g（a）=h（2）=a+2．
综上可得，函数f（x）的最大值为$g（a）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}（a≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）\\-a-\frac{1}{2a}（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a≤-\frac{1}{2}）\\ a+2（-\frac{1}{2}＜a＜0）\end{array}\right.$．---（12分）

点评 本题主要考查函数解析式和函数最值的求解，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．