Question

12．已知a，b同号，二次不等式ax²+2x+b＜0的解集为$\{x|x≠-\frac{1}{a}\}$，且$m=b+\frac{1}{a}$，$n=a+\frac{1}{b}$，则m+n的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 根据一元二次不等式ax²+2x+b＜0的解集得出△=0，且a＜0，再利用基本不等式求出m+n的最大值．

解答 解：a，b同号，二次不等式ax²+2x+b＜0的解集为$\{x|x≠-\frac{1}{a}\}$，
∴方程ax²+2x+b=0有两个相等的实数根-$\frac{1}{a}$，
∴△=4-4ab=0，
解得ab=1；
又a＜0，
$m=b+\frac{1}{a}$，$n=a+\frac{1}{b}$，
∴m+n=a+b+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=a+b+b+a=2（a+b）=-2（-a-b）≤-2×2$\sqrt{（-a）（-b）}$=-4，
当且仅当a=b=-$\frac{1}{2}$时，取“=”，
∴m+n的最大值是-4．
故选：D．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题．