Question

1．已知直线y=kx-1经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点
（1）求k的值．
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，代入直线方程，即可得到k的值；
（2）将直线y=x-1代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）∵抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
且直线y=kx-1过点F（1，0）
∴0=k-1，∴k=1，∴k的值是1；
（2）∵k=1，∴把y=x-1代入y²=4x得，
（x-1）²=4x，即为x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6又p=2
∴由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8．
∴线段AB的长为8．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．